Question

已知函数f（x）=ax²-c满足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5求证-1≤f（3）≤20

求大神指教要有详细过程

Answer 1

过去是用楼止的方法，但现在一般推荐用线性规划
f(1)=a-c
f(2)=4a-c
f(3)=9a-c
以下用线性规划的思想：
以a为横坐标，c为纵坐标，可行域：
{-4≤a-c≤-1
{-1≤4a-c≤5
这是一个平行四边形ABCD
A(0,1),B(2,3); C(3,7),D(1,5)
目标函数z=f(3)=9a-c的斜率最大，所以A,C的坐标是目标函数的最优解：
Z(A)=9*0-1=-1
Z(C)=9*3-7=20
所以-1≤f(3)≤20

Answer 2

f(1)=a-c,f(2)=4a-c,f(3)=9a-c,
设f(3)=mf(1)+nf(2)=(m+4n)a-c(m+n),
比较得m+4n=9,m+n=1,
解得n=8/3,m=-5/3,
由-4≤f(1)≤-1得
5/3≤（-5/3)f(1)≤20/3,①
由-1≤f（2）≤5得
-8/3≤（8/3)f(2)≤40/3,②
①+②，-1≤f(3)≤20.