Question

设a,b为实数,求a²+2ab+2b²-4b+5的最小值,并求此时a与b的值

Answer 1

a²+2ab+2b²-4b+5
=a²+2ab+b²+b²-4b+4+1
=(a+b)²+(b-2)²+1
因为(a+b)²>=0,(b-2)²>=0
所以(a+b)²+(b-2)²+1的最小值为：1
此时a=-2，b=2

Answer 2

a²＋2ab＋2b²－4b＋5
=（a²＋2ab＋b²）＋（b²－4b＋5）
=（a+b）²＋（b－5）（b+1）
因为（a+b）²最小值为0，直接去除
（b－2）²+1的顶点坐标是（2,1）
最小值是1
此时b=2，将b代入a+b=0得a=-2

Answer 3

a²+2ab+2b²-4b+5=（a+b）²+（b-2）²+1
所以当a+b=0，b-2=0,，取得最小值
所以a=-2，b=2

Answer 4

a²+2ab+2b²-4b+5=a²+2ab+b²+b²-4b+4+1=(a+b²)+(b-2) ²+1
∴原式最小值=1 a=-2 b=2