Question

关于高数.泰勒级数问题。

书本有句原话：当函数f(x)在含有x0的某个邻域内具有任意阶导数时，必能写出 f(x)生成的泰勒级数，但是这个泰勒级数不一定收敛，即使收敛，也不一定收敛f(x)。
只有函数f(x)在含有x0的某个邻域内具有任意阶导数，这个时候就能写出f(x)=泰勒级数，这个等式都写出来，不就说明泰勒级数已经收敛于f(x)了吗？

Answer 1

不一定，泰勒级数收敛于原函数还要求泰勒公式中的余项趋于0，有个很有名的例子，f(x)=e^(-1/x^2) x≠0
=0 x=0
它在x=0处的各阶导数都存在，且各阶导数都等于0，故泰勒级数=0，它不收敛到f(x)，究其原因，级数余项不趋于0。

追问

泰勒级数不就是根据f(x)=ao+a1(x-x0).......推导出来的吗？
根据这个推导出来的级数，最后反倒不符合它的初始推导条件？

追答

那个推导过程不能保证余项趋于0啊。

Answer 2

首先，是要 x-1 的多项式，因此必须出来 x-1 的结构，
其次，要利用已知结论，这样可以简化计算。已知结论是：1/(1-x) = 1+x+x^2+...，
分母的第一项必须是 1 ，因此整个分母要提出因数 2 。