Question

高数函数

连续，可导，可微的关系，还是不太明确，想请教深层度解析，谢谢！

Answer 1

1、连续(continuous)
就是函数的图形不间断。
在一个区间上没有任何一处断开，就说在这个区间上连续。

2、连续的图形上没有尖点，没有一处的切线垂直于x轴，我们
就说该函数在这个区间上可导。

3、函数在某点可导的确切含义，是在函数在该点不但连续，而
且在该点两侧的斜率相等。所以可导就意味着没有尖点，有
尖点时，在尖点的两侧的斜率就不相等。可导一定是在开区
间，连续可以在闭区间。

4、对于一元函数，可导就是可微，可微就是可导，没有差别。
对于多元函数，对所有方向可导，才是可微。可微一定可导，
可导不一定可微。

这个说法，只是我们中国人的说法，英文中的可导就是可微，
可微就是可导，没有差别。可微、可导的区分是我们自己规
定的，英文都是differentiable。全导数是total differentiation，
偏微分是partial differentiation。

欢迎追问。

追问

概念了解了，只是在具体解多元函数时仍不着道，求指点，多谢

追答

1、对一个自变量求偏导时，将其他自变量当成常数。
这句话说起来容易，做起来就会有麻烦。譬如F(x,y,z)=0，
求∂z/∂x时，对Fx,y,z)=0来说究竟要不要求∂F/∂z? 对初学
者来说，确实不太容易理解。
2、一元函数求极值的方法，到了二元函数，就变得很复杂，
国内很多教材上，偏偏又误导重重。譬如，求二元函数的
一般方法并不介绍， 重点却放到了条件极值上，由于条件
极值的计算会带来想当然的思考，以至于很多人把可能的
极值点的函数值当成整个函数的极值，这样的人居然是占
绝对多数。任何有独立思考精神的学生必然会困惑，反而
是喜欢死记硬背、囫囵吞枣的学生自我感觉良好，他们一
学完也就立刻忘到完。

欢迎继续追问。

Answer 2

可导《=》可微=》连续
连续≠》可导和可微