Question

求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1

求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x.

Answer 1

y''+4y=sinx
特征方程
r^2+4=0
r=±2i
齐次方程通解为
y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入原方程得
-asinx-bcosx+4(asinx+bcosx)=sinx
比较系数得
4a-a=3a=1
4b-b=3b=0
a=1/3
b=0
特解为y=(1/3)sinx
所以通解为
y=C1cos2x+C2sin2x+(1/3)sinx
( y'=-2C1sin2x+2C2cos2x+(1/3)cosx )
y|x=0=1
y'|x=0=1
所以：
C1cos0+C2sin0+(1/3)sin0=1
-2C1sin0+2C2cos0+(1/3)cos0=1
所以：
C1+0=1
2C2+(1/3)=1
所以：
C1=1
C2=1/3
特解:
y=cos2x+(1/3)sin2x+(1/3)sinx
即 :
y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x