Question

已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ，2】内有两个不同的零点，求实数m的

已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)
(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ，2】内有两个不同的零点，求实数m的取值范围
(2)任意x∈(0,1),证明f(1-x)＜f(1+x)
(3)若a≤2根号2，求函数h(x)=-f(x)-ax+3lnx的单调递增区间

Answer 1

答：
（1）g(x)=f(x)-m=-x²+2lnx-m在[1/2,2]内有两个不同的零点。
求导：g'(x)=-2x+2/x=-2(x²-1)/x
令g'(x)=-2(x²-1)/x=0，解得：x=1（x=-1不符合舍去）
当1/2<=x<1时，g'(x)>0，g(x)是增函数
当1<x<=2时，g'(x)<0，g(x)是减函数
所以：x=1是最大值点。
g(x)在[1/2,2]上有两个不同的零点，则必须满足：
g(1)=-1+2ln1-m>0 m<-1
g(1/2)=-1/4+2ln(1/2)-m<=0 m>=-1/4-2ln2
g(2)=-4+2ln2-m<=0 m>=-4+2ln2
所以：-1/4-2ln2<=m<-1

（2）f(x)=-x²+2lnx
令m(x)=f(1-x)-f(1+x)
=-(1-x)²+2ln(1-x)+(1+x)²-2ln(1+x)
=4x+2ln(1-x)-2ln(1+x)
求导：m'(x)=4-2/(1-x)-2/(1+x)=-4x²/(1-x²)
因为：0<x<1
所以：m'(x)<0，m(x)是减函数
所以：m(x)<m(0)=0+2ln1-2ln1=0
所以：f(1-x)<f(1+x)

（3）a<=2√2，h(x)=-f(x)-ax+3lnx=x²-2lnx-ax+3lnx=x²-ax+lnx，x>0
求导得：h'(x)=2x-a+1/x>=2√2-a>=0
所以：h(x)是单调增函数
所以：h(x)的单调递增区间为(0，+∞）