Question

设函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=xf(y/x)确定，且f可微求,z对x，y的偏导

求解详细步骤

Answer 1

设F(x)=x^2+y^2+z^2-xf(y/x)=0
=x^2+y^2+z^2-xf(u)=0 u=y/x
əu/əx=-y/x^2=-u/x, əu/əy=1/x
əF/əx=2x-f(u)-x*əf/əu*əu/əx=2x-f(u)+əf/əu*u
əF/əy=2y-x*əf/əu*əu/əy=2y-əf/əu
əF/əz=2z
对F(x)求全微分，得
dF=əF/əx*dx+əF/əy*dy+əF/əz*dz=0
∴əz/əx=-(əF/əx)/(əF/əz)=-[2x-f(u)+əf/əu*u]/(2z)
əz/əy=-(əF/əy)/(əF/əz)=-[2y-əf/əu]/(2z)

Answer 2

你把两边求导，那个f函数是作为已知函数的，两边同时求导，然后会得出一个方程，根据这个方程解出Zx，那你会发现这个方程中还有Z在对吧，再用题目中的方程式把Z解出来，然后代入进去，Zx的表达式只剩下x，y还有函数f了，右边求导的时候要注意f求导后，里面的y/x还要求一次导，若有不明白，再追问