Question

求高中不定积分 求高手解答

Answer 1

求定积分[0，1]∫{√[1-(1-x)²]-2x}dx
解：定义域：由1-(1-x)²≧0，得(1-x)²≦1，故`-1≦1-x≦1，-2≦-x≦0，即0≦x≦2.
于是可令1-x=sinu，x=1-sinu，dx=-cosudu；x=0时u=π/2；x=1时u=0；代入原式得：
原式=[π/2，0]∫[√(1-sin²u)-2(1-sinu)](-cosu)du=[π/2，0]∫[cosu-2(1-sinu)](-cosu)du
=[π/2，0]∫[2cosu(1-sinu)-cos²u]du=[π/2，0][2∫cosudu-2∫cosusinudu-∫cos²udu]
=[π/2，0][2sinu-2∫sinud(sinu)-(1/4)∫(1+cos2u)d(2u)
=[2sinu-sin²u-(1/4)(2u+sin2u)]∣[π/2，0]=-2+1+(1/4)π=π/4-1.

Answer 2

∫<0,1>{√[1-(x-1)^2]-2x}dx
=∫<0,1>√[1-(x-1)^2]dx-∫<0,1>2xdx
=∫<0,1>√[1-(x-1)^2]d(x-1)-<0,1>x^2
=∫<-1,0>√[1-t^2]dt-1 t=x-1, t∈[-1,0]
=∫<-π/2,0>√[1-(sinθ)^2]dsinθ-1 t=sinθ, θ∈[-π/2,0]
=∫<-π/2,0>cosθ*cosθdθ-1
=1/2∫<-π/2,0>(cos2θ+1)dθ-1
=1/4∫<-π/2,0>(cos2θ+1)d(2θ)-1
=1/4<-π/2,0>(sin2θ+2θ)-1
=[0-(-π)]/4-1
=π/4-1

追问

t=sinθ, θ∈[-π/2,0]这一部能不能换成 t=sinθ, θ∈[3π/2,0]

追答

可以呀，一样的角度
只不过习惯上将小的角度写在前面

追问

=∫√[1-(sinθ)^2]dsinθ-1
=∫cosθ*cosθdθ-1
这一步是怎么下来的 √[1-(sinθ)^2怎么化成cosθ*cosθ 还有dsinθ怎么变成dθ了

追答

√[1-(sinθ)^2=cosθ，利用三角恒等式(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
这里，因为θ∈[-π/2,0]，故cosθ>0，开方取正号
dsinθ=cosθdθ，这是对sinθ直接求导

Answer 3

说实在的，这不是定积分吗？
我们分开积，前一部分三角换元，设1-x=sina,其上下限分别是π/2和0
则前一部分内项为