Question

设(sinx2)'=f(x),∫f(x)dx=? 不定积分∫1/(x+x²)dx=?

Answer 1

(sinx2)'=f(x),∫f(x)dx=sinx2 +C

Answer 2

f(x)=cosx² * 2x
∫f(x)dx=∫cosx²dx²=sinx²+C

原式＝∫｛1/√［(x＋1/2)²＋3/4］｝dx。
令x＋1/2＝(√3/2)tant，则：tant＝(2x＋1)/√3，dx＝(√3/2)(sect)²dt，

且sint＝√｛(sint)²/［(sint)²＋(cost)²］｝＝√｛(tant)²/［1＋(tant)²］｝
＝tant/√［1＋(tant)²］＝［(2x＋1)/√3］/√［1＋(2x＋1)²/3］
＝(2x＋1)/√［3＋(2x＋1)²］。

∴原式＝∫｛1/√［(3/4)(tant)²＋3/4］｝(√3/2)(sect)²dt
＝∫(1/sect)(sect)²dt
＝∫(1/cost)dt
＝∫［1/(cost)²］d(sint)
＝∫｛1/［1－(sint)²］｝d(sint)
＝(1/2)∫｛［(1＋sint)＋(1－sint)］/［(1＋sint)(1－sint)］｝d(sint)
＝(1/2)∫［1/(1－sint)］d(sint)＋(1/2)∫［1/(1＋sint)］d(sint)
＝(1/2)ln｜1＋sint｜－(1/2)ln｜1－sint｜＋C
＝(1/2)ln｜1＋(2x＋1)/√［3＋(2x＋1)²］｜－(1/2)ln｜1－(2x＋1)/√［3＋(2x＋1)²］｜＋C
＝(1/2)ln｜√［3＋(2x＋1)²］＋2x＋1｜－(1/2)ln｜√［3＋(2x＋1)²－2x－1］＋C