Question

矩阵证明题

设A为n阶非零矩阵，且A²=3A,证明：1）2I-A可逆；2)3I-A不可逆

Answer 1

因为 A^2-3A=0
所以 A(A-3E)=0
所以 A 的特征值只能是 0,3
所以 2I-A 的特征值只能是 (2-λ): 2, -1
故 2I-A 可逆 (特征值都不等于0).

假如 3I-A 可逆, 则 A-3I 可逆
由 A(A-3I)=0 即得 A=0
这与已知A非零矛盾
所以 3I-A 不可逆.