Question

已知实数x. y满足x^2+y^2-4x-5=0,求:

1. (y+6)/(x-5)的最大值

2. y-x的最小值

3. x^2+y^2的最大值

Answer 1

x^2+y^2-4x-5=0
(x-2)²+y²=3²
写成参数的形式是:
x=2+3cosa
y=3sina

(y+6)/(x-5)的最大值
该式的几何含义是圆上的点A与点P(5,-6)的连线的斜率
设过点P的直线方程为y=k(x-5)-6
写成一般式为kx-y-(5k+6)=0
则当直线与圆相切时,圆心(2,0)到直线的距离等于半径
|2k-0-(5k+6)|/根号(k²+1)=3
|-3k-6|=3根号(k²+1)
两边平方得
9(k+2)²=9(k²+1)
解得,k=-3/4
显然,另一条切线的方程是x=5,斜率不存在
所以k<=-3/4
即(y+6)/(x-5)的最大值是-3/4

y-x的最小值
y-x
=3sina-3cosa-2
=3(根号2)sin(a-45°)-2
>=-3(根号2)-2

x^2+y^2的最大值
x²+y²
=(2+3cosa)²+(3sina)²
=4+12cosa+9(cos²a+sin²a)
=13+12cosa
<=13+12=25

Answer 2

第三个问题，根据条件式化为(x-2)^2+y^2=9，由此|x-2|<=3, |y|<=3，求出 -1=<x<=5, -3=<y<=3
又根据条件式变化为x^2+y^2=4x+5，则求4x+5的最大值，上面得到x的最大值为5，则x^2+y^2=4x+5<=4x5+5=20，此事y=0
前两个还没想出来怎么办。好多年不弄这些玩意了，居然做不出来了。

Answer 3

都可用数形结合，顶无名尐鬼！