Question

在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若向量AC=λ向量AE+μ向量AF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=

求详细过程！！！！

Answer 1

向量AE=向量AD+向量DE=向量BC+(1/2)向量AB
向量AF=向量AB+向量BF=向量AB+(1/2)向量BC
向量AC=向量AB+向量BC=(2/3)[向量BC+(1/2)向量AB+向量AB+(1/2)向量BC]=(2/3)(向量AE+向量AF)
∴λ=μ=2/3
∴λ+μ=4/3

追问

为什么：向量AC=向量AB+向量BC=(2/3)[向量BC+(1/2)向量AB+向量AB+(1/2)向量BC]=(2/3)(向量AE+向量AF)
这里求详细过程？
就是这条式子怎么化、原谅我是数学白痴：向量AC=向量AB+向量BC=(2/3)[向量BC+(1/2)向量AB+向量AB+(1/2)向量BC]=(2/3)(向量AE+向量AF)

追答

向量AC=向量AB+向量BC，这是平行四边形法则

向量AB+向量BC=(2/3)[向量BC+(1/2)向量AB+向量AB+(1/2)向量BC]，这本身就是等的，外面提出2/3，里面就是（3/2向量BC+3/2AB），然后分别拆成两项，这样是为了靠拢向量AE和向量AF
向量AE=向量BC+(1/2)向量AB
向量AF=向量AB+(1/2)向量BC
你看是不是加起来就是3/2的向量AB、BC

追问

我有一种方法、既然向量AC=向量AB+向量BC、要找向量AB=向量AF+FB、向量BC=向量AD=向量AE+ED、那么向量FB和ED又如何化简成为向量AC=(2/3)(向量AE+向量AF)呢？？
我就是这里不明白、请大神再次指导我

追答

向量AE=向量AD+向量DE，向量AD+向量DE=向量BC+(1/2)向量AB，这中间有个过渡，在数学来说是等量代换，利用（向量AD+向量DE）作代换量
向量AF也是如此
你直接是看不出来AC=(2/3)(向量AE+向量AF)的，中间要有代换量，

Answer 2

AF =(1/2)(AC+AB) ( F is mid-point of CB) (1)

AE = (1/2)(AD+AC) ( E is mid-point of DC)
=(1/2)(BC+AC) (AD = BC)
= (1/2)(-AB+2AC) (BC=BA+AC) (2)

AC=λAE+μAF
= (1/2)[(2λ+μ)AC + (-λ+μ)AB ]
(1/2)(2λ+μ) =1 (3) and
-λ+μ=0 (4)
(3)-(4)
3λ = 2
λ =2/3
μ = 2/3
λ+μ = 4/3