Question

已知函数f(x)=aln x-3x+1/x(1)若f(x)单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a=4时，求方程f(x)=0的根的个数

Answer 1

答：

（1）f(x)=alnx-3x+1/x，x>0

求导：f'(x)=a/x-3-1/x²

因为：f(x)是单调递减的函数

所以：f'(x)=a/x-3-1/x²=(-3x²+ax-1)/x²<=0

所以：3x²-ax+1>=0

所以：判别式=(-a)²-4*3*1=a²-12<=0

所以：-2√3<=a<=2√3

（2）a=4时，f(x)=alnx-3x+1/x=4lnx-3x+1/x

求导得：f'(x)=4/x-3-1/x²

令f'(x)=4/x-3-1/x²=(4x-3x²-1)/x²=0

解得：x1=1/3，x2=1

当0<x<1/3或者x>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数；

1/3<x<1时，f'(x)>0，f(x)是增函数。

所以：x=1/3是极小值点，x=1是极大值点。

f(1/3)=4ln(1/3)-1+3=2-4ln3<0

f(1)=0-3+1=-2<0

所以：f(x)=0仅有一个实数解。

Answer 2

已知函数f(x)=aln x-3x+1/x(1)若f(x)单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a=4时，求方程f(x)=0的根的个数
(1)解析：∵函数f(x)=alnx-3x+1/x，其定义域为x>0
∴f'(x)=a/x-3-1/x^2
∵f(x)是单调递减的函数
令f'(x)=(-3x^2+ax-1)/x^2<=0==>3x^2-ax+1>=0
∴a<=(3x^2+1)/x
令g(x)= (3x^2+1)/x==>当x=√3/3时，g(x)取极小值g(√3/3)=2√3
∴a<=2√3

(2)解析：设a=4，f(x)=4lnx-3x+1/x
∴f'(x)=4/x-3-1/x^2
令f'(x)=(4x-3x^2-1)/x^2=0==>x1=1/3，x2=1
当0<x<1/3或者x>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数；
1/3<x<1时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=1/3是极小值点，x=1是极大值点。
f(1)=0-3+1=-2<0
∴f(x)=0仅有一个实数解。