Question

两个线性代数的题目,求解答

第一题，行列式求值，如图。
第二题，A为M*N矩阵，B为N阶矩阵，AB=0，r(A)=n-1，求证r(B)=1

Answer 1

1. 我给个主要过程, 细节你写一下就明白了.
按顺序进行如下变换 (行列式的值不改变):
将第1列加到第2列上, 将第2列加到第3列上, ..., 将第n-1列加到第n列上.
变换后行列式是下三角的, 其值等于对角线元素的乘积, 即a[1]a[2]...a[n-1]·n (右下角的元素为n).

2. 由AB = 0, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
r(A) = n-1, 故AX = 0的解空间维数为n-r(A) = 1.
因此r(B) = B的列秩 ≤ 1, 而B不是零矩阵(这应该是条件之一), 故r(B) = 1.