Question

什么叫过渡矩阵?可逆过渡矩阵如何求解?

Answer 1

假设有2组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP，过渡矩阵P=A^-1B。

过渡矩阵的应用：若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X，Y满足X=PY；过渡矩阵P为可逆矩阵。

证明如下：

过渡矩阵是线性空间一个基到另一个基的转换矩阵，

即有(a1,...,an) = (b1,...,bn)P

因为 b1,...,bn 线性无关,

所以 r(P) = r(a1,...,an) = n 【满秩即可逆】

故 P 是可逆矩阵。

扩展资料：

矩阵可逆的充分必要条件：

1、AB=E；

2、A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

3、A的特征值全不为0；

4、A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；

5、A等价于n阶单位矩阵；

6、A可表示成初等矩阵的乘积；

7、齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

8、非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；

9、A的行（列）向量组线性无关；

10、任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

其实以上条件全部是等价的。