Question

如图，已知O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E,交BC于点F,∠BDF=15°,则∠COF=???

Answer 1

证法二：证明△COF是等腰三角形
∵∠ADF＝∠CDF＝90°÷2＝45°，∠BDF＝15
∴∠ADB＝∠CAD＝45°－15°＝30°
∴ △DOC是等边三角形，有 DC＝OC
又Rt△DCF为等腰直角三角形
∴FC＝DC
∴FC＝OC
在等腰△OCF中，∠OCF=30°
∴∠FOC＝(180°－30°)÷2＝75°

Answer 2

解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC、∠BAD、∠BCD是Rt∠，又DF平分∠ADC
∴∠ADF＝∠CDF＝45°
∵∠BDF＝15°
∴∠ADB＝∠ADF－∠BDF＝45°－15°＝30°
在Rt△DAB中，
∠ABD＝90°－30°＝60°
AB＝1/2BD（30度角所对的直角边等于斜边的一半）
又∵O为矩形ABCD的对角线交点
∴OB＝OD＝1/2BD＝AB
∴△AOB是等边三角形
∴∠DOC＝∠AOB＝60°
在Rt△DCF中
∠DFC＝90°－∠CDF＝90°－45°＝45°
∴∠DFB＝180°－∠DFC＝180°－45°＝135°

下面证明△BDF和△DFO相似：
设AB＝a，则OD＝a，BD＝2a，DF＝√2a
OD/DF＝a/(√2a)＝√2/2
DF/BD＝(√2a)/(2a)＝√2/2
OD/DF＝DF/BD
又∠ODF＝∠FDB
∴△BDF∽△DFO
∴∠DOF＝∠BFD＝135°
∴∠COF＝∠DOF－∠DOC＝135°－60°＝75°