Question

甲数与乙数的比是3:7若,它们的最大公因数与最小公倍数相差140甲乙各是多少？

Answer 1

设甲数为3x，乙数为7x，它们的最大公因数为d，最小公倍数为l。
由于最大公因数和最小公倍数的关系为 d × l = 甲数 × 乙数 ，所以有：
d × l = 3x × 7x = 21x^2
又因为最大公因数不大于较小数，最小公倍数不小于较大数，所以有：
d ≤ 3x，l ≥ 7x
同时，根据题意可知：
l - d = 140
因此，有：
(l + d)(l - d) = l² - d² = (7x)^2 - (3x)^2 = 40x^2
(7x + 3x)(7x - 3x) = 40x^2
根据上式可知，40x^2 只能分解为 (5x)^2 × 8 或 2 × (5x)^2 × 4。
如果 40x^2 分解为 (5x)^2 × 8，则可得：
d ≤ 3x ≤ l - 140 ≤ 7x - 140
化简得：5x ≤ 140，即 x ≤ 28。
在 x 为 1 至 28 的范围内验证，发现均不符合题意。
如果 40x^2 分解为 2 × (5x)^2 × 4，则可得：
d ≤ 3x ≤ (l - 140) / 2 ≤ 7x / 2 - 70
化简得：x ≤ 56 / 5，即 x ≤ 11。
在 x 为 1 至 11 的范围内验证，当 x = 6 时满足条件。
因此，甲数为 3x = 18，乙数为 7x = 42。

Answer 2

设甲乙两数的最大公因数为k则甲数是3k，乙数是7k，最小公倍数是21k，依题意有
21k-k=140，
解得k=7。那么甲数：21；乙数：49。