Question

设f(x)二阶连续可微,且使曲线积分∫[f(x)+x]ydx+[f'(x)+sinx]dy与路径无关,求函数f(x)

Answer 1

曲线积分∫[f(x)+x]ydx+[f'(x)+sinx]dy与路径无关，那么：
{[f(x)+x]y}‘y=[f'(x)+sinx]'x
f''(x)+cosx=f(x)+x
f''(x)-f(x)=x-cosx
f''(x)-f(x)=0的通解f(x)=C1e^x+C2e^(-x)
设特解y=Ax+Bcosx
y'=A-Bsinx
y''=-Bcosx
-Bcosx-Ax-Bcosx=x-cosx
A=-1 B=1/2
f(x)=C1e^x+C2e^(-x)-x+(1/2)cosx

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Answer 2

曲线积分与路径无关的充要条件是P对y的偏导=Q对x的偏导。
P=(f(x)+x)y Q=f'(x)+sinx
所以有
f(x)+x=f"(x)+cosx
解 这个方程。

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