Question

设A,B是n阶方阵，En是n阶单位矩阵，证明，若A B=En，且秩A 秩B=n，则A*A=A,B*B=B,且AB=0=BA

设A,B是n阶方阵，En是n阶单位矩阵，证明，若A+B=En,r(A)+r(B)=n,则A*A=A,B*B=B,AB=0=BA

Answer 1

因为A+B=En，所以（A+B）*（A-B）=A^2-B^2=A-B，移项得A^2-A=B^2-B，把B=E-A代入到前式右端，A^2-A=（E-A）^2-（E-A），则A*（A-E）=（E-A）*（-A），则AB=BA，有一个公式你要知道那就是r(AB)=r(A)+r(B)-B的列数，这个证明比较复杂，但是你可以在一般的书上找到这个公式，同济大学出版社的线代教材上有，因为r(A)+r(B)=n，那么r(AB)=0，所以AB=BA=0，A*（E-A）=0，所以A*A=A，同理B*B=B。