Question

初一数学题（求解答过程）

Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为____
已知答案为 3
分别是哪三种呢?
最好有图解答!

Answer 1

以C点为圆心，以CA为半径，画圆，取AB中点O，连接OC并两端延长，分别交圆于P1、P2点，
1、由于：CP1=CA=CB，P1A=P1B，所以△P1AB、△1PBC、△P1AC都是等腰三角形，所以P1满足
2、由于：CP2=CA=CB，P2A=P2B，所以△P2AB、△P2BC、△P2AC都是等腰三角形，所以P2满足
3、由于△ABC为等腰直角三角形，以边CA、CB作一个正方形P3ACB，由于AC=AP3=BC=BP3，所以△P3AB、△P3BC、△P3AC都是等腰三角形
以上三种情况为你所要的结果，希望对你有所帮组

Answer 2

以C为圆心，CA为半径做圆，再做过C点的AB的垂线，会和圆有两个交点，上下各一个，这是2个了。

另一个点就是三角形的中心，3条中线的交点。

一共3个点满足要求。

希望对你有帮助。

追问

再做过C点的AB的垂线

是直接 过C点的AB的垂线 还是 做AB的中垂线?

另一个点就是三角形的中心，3条中线的交点
是不是做 2 条中垂线 即可?

追答

对，是垂心。不好意思。

追问

什么是 垂心?
还有 若直接过C点做AB的垂线 可以知道 PAC与PBC为等腰三角形，那么PAB为什么等腰呢?

追答

就是3边中垂线的交点。
另外，因为AC=CB，所以AB的中垂线必然过C点。

Answer 3

过AB,AC,CB的中点做AB,AC,CB的垂线，3条垂线交于P1，其中 AB的垂线CD与AB交于D，延长CD至P2，使AP2=AC，延长DC至P3，使CP3=AC，P1，P2，P3，就是满足条件的3个点

Answer 4