Question

设limXn=0，且数列Yn有界，求证limXnYn=0

设limXn=0，且数列Yn有界，求证limXnYn=0要过程

Answer 1

因为数列Yn有界，所以存在M>0，使得|Yn|≤M。

又因为limXn=0，所以对散慎厅任意正数ε>0,存在N>0，当n>N时，恒有|Xn|<ε/M。

从而对于刚才的ε>0,和N,有|XnYn|=|Xn||Yn|<ε/M·M=ε。

即对于任意ε>0,存在N>0，当n>N时，有|XnYn|<ε。

所以有极限定义，得limXnYn=0。

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，物理学，求变速直线运动的瞬孝谈时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。

为此，人们先在小的时间间隔范围内用“匀速”计算方法代替“变速”冲隐状态的计算，求其平均速度，把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”，是借助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。

Answer 2

证：因为数列Yn有界,所以
存在M>0，使得
|Yn|≤M
又因为limXn=0，所以
对任意正数ε>0,存在N>0，陵猛当芦李n>N时，恒有
|Xn|<ε/M
从而陪汪迟对于刚才的ε>0,和N,有
|XnYn|=|Xn||Yn|<ε/M·M=ε
即
对于任意ε>0,存在N>0，当n>N时，有
|XnYn|<ε
所以
有极限定义，得
limXnYn=0.

Answer 3

由题设，limXn相当于无穷小。无穷小乘有界函数还是无穷小

Answer 4

因为limXn=0
所以limXnYn=0×Yn
=0