Question

如何推导泰勒公式

Answer 1

首先要理解泰勒公式的含义:用函数在某一点的各阶导数值作为系数构建一个多项式来近似表达这个函数；

下面主要介绍带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：若f(x)在点x0的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该领域内的任一点x，有   (注:f(n)为f的n阶导(n实际上位于f右上角))

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+f(n+1)(ε)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)

其中f(n+1)(ε)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)为拉式余项,其中的ε介于x与x0之间。

以上是f(x)在点x0的泰勒展开式；(实际上x,x0仅为两个符号,人们习惯上用x与x0来表述,甚至把上式x与x0位置互换也叫泰勒公式,学数学不要太教条了)

f(x+h)在点x的泰勒展开式类比上面即可得出:f(x+h)=f(x)+f'(x)*(x+h-x)+f''(ε)/2*(x+h-x)^2

(该展开式为一阶泰勒公式,f''(ε)/2*(x+h-x)^2为拉式余项,且ε介于x与x+h之间)

化简可得出f(x+h)=f(x)+f'(x)*h+f''(ε)/2*h^2。(这里我仅展开到一阶,后面的部分为拉式余项,考研高数中二阶导的证明相关问题通常展开这里够用了,需要展开到更高阶同理可自行展开)