如何证明重积分轮换对称性

轮换对称性,2李和文灯的书只讲了它的应用,没有给出证明为什么轮换之后积分值不变,求高手证一下?据说用变量替换能证... 轮换对称性,2李和文灯的书只讲了它的应用,没有给出证明为什么轮换之后积分值不变,求高手证一下?据说用变量替换能证 展开
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匿名用户
2019-06-05
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(1) 对于曲面积分,积分曲面为u(x,y,z)=0,如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后,u(y,z,x)仍等于0,即u(y,z,x)=0, 也就是积分曲面的方程没有变,那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS;如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后,u(y,x,z)=0,那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS;如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后,u(z,x,y)=0,那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ,同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可 ,比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后,u(y,z,x)=0,那么在这个曲面上的积 分 ∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉,就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0,如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后,仍满足u(y,x)= 0,那么在这个曲线上的积分 ∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds;实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后,仍满足u(y,x)=0,则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类三维空间的曲线积分跟(2)总结相同同。但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一个负号)
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似,也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后,相当于将坐标轴重新命名,积分区间没有发生变化,则被积函数作相应变换后,积分值不变。
匿名用户
推荐于2017-08-01
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其实就是两个定积分同时做积分变量代换,你可以先把x换成t,再把y换成x,最后把t换成x就是了,其实就是用了定积分与j积分变量无关!还有轮换对称性从区域讲就是关于y=x对称
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学习的好丽友
2019-06-05
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被积函数本来是fxy变成了fyx,你在坐标轴上画一下就知道,因为关于x等于y对称,原本在上面的积分跑到了下面,在下边的积分跑到了上面,但是在整个积分区域相当于没有变
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匿名用户
2013-07-02
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字符代表的东西没必要看的那么死,只是一个符号而已;x可以看成y,y也可以看成x,这就证明了...
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匿名用户
2013-07-02
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伶俐鬼,说的好,感谢
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