Question

线性代数线性无关问题

已知向量组a1,a2,a3,a4,线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）
A．a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1

B．a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1

C．a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1
D．a1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a1

请问答案是什么？

Answer 1

A
假设a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性相关，则存在不全为零的k1、k2、k3、k4,使得
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0
即(k1+k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0
向量组a1,a2,a3,a4,线性无关，
所以 k1+k4=k1+k2=k2+k3=k3+k4=0
k1=k2=k3=k4=0 这与k1、k2、k3、k4不全为零矛盾。
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性无关。

Answer 2

用观察法排除
(A) (1)-(2)+(3)-(4) = 0 故线性相关
(B) (1)+(2)+(3)+(4) = 0 线性相关
(D) (1)-(2)+(3)+(4) = 0 线性相关
所以 (C) 正确

Answer 3