Question

急急急！！！求下列幂级数在其收敛域内的和函数，下面是答案，求过程，帮帮忙，多谢了

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Answer 1

xS(x)= ∑(n=1,+∞)(x/2)^n/n
级数∑(n=1,+∞)(x/2)^n/n求导得：
∑(n=1,+∞)(1/2)(x/2)^n-1=(1/2)/(1-x/2)=1/(2-x) |x|<2
积分得：∑(n=1,+∞)(x/2)^n/n=-ln(2-x)+C
令x=0，C=ln2
∑(n=1,+∞)(x/2)^n/n=ln2-ln(2-x)
当x=2级数发散，x=-2级数收敛
xS(x)= ∑(n=1,+∞)(x/2)^n/n=ln2-ln(2-x) [-2,2)
S(x)=[ln2-ln(2-x)]/x x属于[-2,2)，x不等于0
x=0代入原级数表达式，S(0)=1/2

追问

x乘以s(x)非常巧，当时没看出来。非常感谢，不过为什么要分情况讨论，不大懂，求解

追答

S(x)=[ln2-ln(2-x)]/x

x=0在分母，要单独列出来

追问

非常感谢您的热心帮助

非常感谢您的热心帮助

Answer 2

记和函数为S(x)，则S(0) = 1/2；在不为0的 x，
　f(x) = xS(x) = ∑(n=1~∞)(x^n)/[n*(2^n)]，，-2<x<2，
求导，得
f'(x) = ∑(n=1~∞)[x^(n-1)]/(2^n)
　= (1/2)∑(n=1~∞)[(x/2)^(n-1)]
　= (1/2)[1/(1-x/2)]
= ……，-2<x<2，
再积分，得
f(x) = ∫[0,x]f'(t)dt = ……，
可得
S(x) = ……。