Question

一道数学题在线等！！

已知数列｛an｝是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，S5=20,a1,a3,a7成等比，数列｛1/anan+1｝的前n项和为Tn （1）求｛an｝通项公式 （2）若Tn≤拉姆达倍an+1对一切n属于N成立，求拉姆达最小值
（3）设cn=[1-（Tn/Tn+1）]·1/根号下Tn+1，求证:c1+c2一直加到cn 小于2

Answer 1

解：（1）题意得
S5=5（a1+a1+4d)/2=20①
a²3=a1*a7即（a1+2d)²=a1(a1+6d)②
①得，a1=4-2d
代入②，16=（4-2d)(4+4d)
∴d=1(0舍去）
∴a1=4-2=2
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1
(2)1/anan+1=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=1/2-1/(n+2)
∴1/2-1/(n+2)≤λ(n+2)
∴2λn²+(8λ-1)n+8λ≥0对n∈N成立
∴⊿=64λ²-16λ+1-64λ²≤0
∴λ≥0
∴λ最小值=0
解
an是等差
s5=5a1+10d=20
即
a1+2d=4
又a1，a3.a7成等比
∴a3²=a1a7
即(a1+2d)²=a1(a1+6d)
即a1²+4a1d+4d²=a1²+6a1d
∴2d²=a1d
∵d≠0
∴2d=a1代入a1+2d=4
∴a1=2，d=1
∴an=2+(n-1)*1=n+1

∴1/ana(n+1)=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
∴Tn=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+[1/(n+1)-1/(n+2)]
=1/2-1/(n+2)
=n/(2n+4)
∵Tn<=λan+1对一切n属于N成立
∴n/(2n+4)<=λ(n+2)对一切n属于N成立
即λ>=n/(2n+4)(n+2)=n/(2n²+8n+8)=1/(2n+8/n+8)对一切n属于N成立
∴λ大于1/(2n+8/n+8)的最大值即可
1/(2n+8/n+8)的最大值为
1/(2n+8/n+8)<=1/(8+2√16)=1/16
∴λ>=1/16

Answer 2

设公差为d，s5=5a1+10d=20
a1a7=a3^2 => a1(a1+6d)=（a1+2d）^2，联立解得a1=2，d=1;=> an=1+n
1/anan+1=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)=1/an-1/an+1
所以Tn=1/a1-1/an+1=n/2(n+2)
Tn≤拉姆达an+1=拉姆达（n+2） =〉n/2(n+2)^2≤拉姆达
取左式最大值即拉姆达最小值，令f(x)=x/2(n+2)^2,df/dx=(1-2x)/2(x+2)^3,可知当x〉1/2时 df/dx<0，即f（n）在n=1处取得最大值，为1/18

追问

老师还有个第三问，请教一下，设Cn=[1-（Tn/Tn+1）]·（1/√Tn+1）求证从c1一直加到cn要小于2

追答

我的答案至少是对的吧，这种程度哈哈虽然毕业好多年了

第三问可以用两个方法，一个是求出cn通项，然后求出序列和，证明和小于2，第一个是用数学归纳法，看样子应该第二种好做一点

Answer 3

解
an是等差
s5=5a1+10d=20
即
a1+2d=4
又a1，a3.a7成等比
∴a3²=a1a7
即(a1+2d)²=a1(a1+6d)
即a1²+4a1d+4d²=a1²+6a1d
∴2d²=a1d
∵d≠0
∴2d=a1代入a1+2d=4
∴a1=2，d=1
∴an=2+(n-1)*1=n+1

∴1/ana(n+1)=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
∴Tn=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+[1/(n+1)-1/(n+2)]
=1/2-1/(n+2)
=n/(2n+4)
∵Tn<=λan+1对一切n属于N成立
∴n/(2n+4)<=λ(n+2)对一切n属于N成立
即λ>=n/(2n+4)(n+2)=n/(2n²+8n+8)=1/(2n+8/n+8)对一切n属于N成立
∴λ大于1/(2n+8/n+8)的最大值即可
1/(2n+8/n+8)的最大值为
1/(2n+8/n+8)<=1/(8+2√16)=1/16
∴λ>=1/16

追问

老师还有个第三问，请教一下，设Cn=[1-（Tn/Tn+1）]·（1/√Tn+1）求证从c1一直加到cn要小于2

Answer 4

解：（1）题意得
S5=5（a1+a1+4d)/2=20①
a²3=a1*a7即（a1+2d)²=a1(a1+6d)②
①得，a1=4-2d
代入②，16=（4-2d)(4+4d)
∴d=1(0舍去）
∴a1=4-2=2
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1
(2)1/anan+1=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=1/2-1/(n+2)
∴1/2-1/(n+2)≤λ(n+2)
∴2λn²+(8λ-1)n+8λ≥0对n∈N成立
∴⊿=64λ²-16λ+1-64λ²≤0
∴λ≥0
∴λ最小值=0

追问

老师还有个第三问，请教一下，设Cn=[1-（Tn/Tn+1）]·（1/√Tn+1）求证从c1一直加到cn要小于2

追答

解：（1）题意得
S5=5（a1+a1+4d)/2=20①
a²3=a1*a7即（a1+2d)²=a1(a1+6d)②
①得，a1=4-2d
代入②，16=（4-2d)(4+4d)
∴d=1(0舍去）
∴a1=4-2=2
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1
(2)1/anan+1=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)
Tn=1/2-1/(n+2)
∴1/2-1/(n+2)≤λ(n+2)
∴2λn²+(8λ-1)n+8λ≥0对n∈N成立
∴⊿=64λ²-16λ+1-64λ²≤0
∴λ≥1/16------------------------------------------------------------------(改的）
∴λ最小值=1/16
（3）Cn=[1-n/2(n+1)*2(n+2)/(n+1)]*1/√[(n+1)/2(n+2)]=1/(n+1)²*√2(n+2)/√(n+1)<2/(n+1)²<2/n(n+1)
∴C1+C2+...Cn<2/(1*2)+2/(2*3)+...+2/n(n+1)=2[1/1-1/(n+1)]<2
得证

Answer 5

题目没有表达清楚。。。。。后面哪anan+1啥的