Question

一些有难度的数学证明题

一
如图1，在RT△ABC中，∠ACBD=90°，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于点F，且CF=DF，试着求∠A的度数。
二
如图2，AC⊥BC，AC平分∠DAE，E为AB上一点，EC∥AD，求证：AE=BE。
三
如图3，等腰直角△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA=CF，求证：DE=DF。
四
如图4，在△ABC中，AB=AC，EF交AB于E，交AC的延长线于F，交BC于D，且BE=CF，求证：DE=DF。

Answer 1

一。 做辅助线BF,三角形ADF全等于三角形ECF 所以，AF=EF，由知AF=BF，所以，EF=BF，可知三角形ECF全等于三角形BCF 所以，角E等于角FBC 而角A等于角ABF，角E等于角A。所以角A等于90/3=30度

二。AC平分∠DAE，∠DAC=∠CAE，EC∥AD，∠DAC=∠ACE，所以∠CAE=∠ACE，AE=CE，所以E为RT△ABC斜边中点，AE=BE
三。连AD，因为△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，所以AD=DC，∠DAE=∠DCF=45度，EA=CF，所以△ADE和△CDF全等，DE=DF
四。过F作FG∥AB交BC的延长线于G，则△CFG也是等腰三角形，CF=FG，且因为AB∥FG，BE=CF=FG，所以△BDE和△GDF全等，所以DE=DF

Answer 2

图1
连接BF，可证得△CBF全等于△DBF，即BC=DB，又∵AB的垂直平分线交BC的延长线于E
所以BC=1/2AC，即∠A=30°
图2
∵EC∥AD，∴∠ACE=∠DAC，又∵AC平分∠DAE
①∴∠CAE=∠ACE，∴AE=CE
在RT△ACB内，∠CAE+∠CBA=∠ECB+∠ABC=90°，
又由①得：∠ECB=∠CBA，∴BE=CE
即AE=BE

图3
连接AD，
∵D为等腰直角△ABC中BC的中点，所以AD为垂直平分线，并且AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠ACB=45°，又∵EA=CF
即可证得△ADE全等于△DFC，即DE=DF
图4
作辅助线BG使BG=CF，且BG∥CF，连接DG，EG
可证得BD垂直平分EG，且由于BG=CF，且BG∥CF，所以可以证得 BC∥GF，即EG⊥GF
综上述ED=DF

Answer 3

一、连BF，则BF=AF,角A=角FBD，又因为CF=DF,所以角CBF=角DBF,因为角FBD+角A+角DBF=90度，所以角A=30度
二、因为EC∥AD，所以角DAC=角ECA，又因为AC平分∠DAE，所以角CAE=角CAD,所以角ECA=角CAE，所以AE=CE,所以在直角三角形中，AE=EC=BE,所以AE=BE
三、连接AD，则在等腰直角三角形中，D为BC中点，即BD垂直BC，且BD=CD=AD，所以角B=角BAD,角C=角B,所以角BAD=角C，又因为EA=CF，所以三角形AED全等三角形CFD，所以DE=DF
四、作BG，使BG=CF，且BG∥CF，连接DG，EG，GF，所以BG=BE,且角ACB=角GBC=角ABC,所以BD垂直平分EG，所以ED=GD，因为BG=CF，且BG∥CF，所以四边形BCFG是平行四边形，所以BC∥GF，所以EG垂直GF，所以在直角三角形中，GD=ED=DF

Answer 4

一 做辅助线bf。三角形ADF等于三角形ECF 所以，AF=EF，由知AF=BF，所以，EF=BF，可知三角形ECF等于三角形BCF 所以，角E等于角FBC 而角A等于角ABF，角E等于角A。所以角A等于90/3=30度

追问

嗯嗯，继续

追答

二 角dac等于角cae等于角ace。得AE=CE。由角acb=90度=角ace+角ecb，而角b+角cae=90度，角ace=角cae，所以角b等于角ecb，所以CE等于BE，由AE等于CE，所以AE等于BE。
四 过F作FG∥AB交BC的延长线于G，则△CFG也是等腰三角形，CF=FG，且因为AB∥FG，BE=CF=FG，所以△BDE和△GDF全等，所以DE=DF。第四个 有个哥们的答案不对。

Answer 5

一、三十度
二：AC平分角DAE，所以角DAC=角EAC；EC，AD平行，所以角DAC=角ECA；所以角CAE=角ACE；所以AE=CE；
角CAE+角B=角ACE+角BCE=90度，而角ACE=角CAE，所以角BCE=角B，所以CE=BE；
所以AE=BE
三：添加辅助线AD；
可知AD=CD；角EAD=角C，角EDA=角CDF；得三角形AED和三角形CFD全等，所以DE=DF
四：还没想出来

追问

额，你们好棒