Question

如图16，在Rt△ABC中

如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）∵t=2，∴CP=2，
∵AC=3，∴AP=1，
∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
设点Q到AC的距离是h，
∴
h4= 25，
∴h= 85．（2分）
故答案为1； 85；
（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴
QFBC=AQAB，
又AQ=CP=t，∴AP=3-t，BC= 52-32=4，
∴ QF4= t5，
∴QF= 45t，
∴S=
12（3-t）• 45t，
即S=- 25t2+
65t；（4分）
（3）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得
AQAC= APAB，
∴ t3= 3-t5，
解得t=
98；（6分）
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得 AQAB=
APAC，
即 t5= 3-t3．
解得t= 158．
综上，可知当t= 98或 158时，四边形QBED能成为直角梯形．

追问

为什么BC= 52-32=4?

追答

∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，不是勾股吗?