Question

一道计算无穷限反常积分题

为什么不能直接求1/x^2+x+1的原函数，然后带入正无穷与负无穷计算？
为什么这里后面可以写成d(x+1/2)，前面只是配了一下方啊，d后面的值就能改变？第二步是不是用了什么公式直接计算出来的？

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Answer 1

回答：一、可以直接求原函数，然后用牛顿莱布尼茨定理计算；问题是被积函数的原函数用基本公式法、两类换元法不易求出。
二、因为d(x+1/2)=(x+1/2) 'dx=dx，之所以这么写，是为了把被积函数凑成其原函数arctanx的形式，这是通常使用的方法。

追问

atctanX的微分公式是什么啊，我只知道最原始的公式，就是3/4为1且（x+1/2）^2为x^2的时候的最原始的公式

追答

Answer 2

首先这里不能直接求1/x^2+x+1的原函数是因为它的原函数不好求，不方便求，所以不求，还有前面的配方后，后面的是可以写成d(x+1/2)的，因为d的意思是微分，而x+1/2与x的微分相同所以可以相互替换，第二步是用了微分公式计算出来的，详情参见atctanX的微分。

追问

atctanX的微分公式是什么啊，我只知道最原始的公式，就是3/4为1且（x+1/2）^2为x^2的时候的最原始的公式

追答

他这个就是就是将3/4提取到前面，把它变成标准式形式，当然微分项也要修改，只要将分式上下部都乘以4/3，将分式上部提取出系数使其成1，改变微分式也就是d后面式子的系数，就可以了。明白的话就采纳吧。