Question

请在这里概已知数列{an}中a1=3，a2=5，其前n项和满足：Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）． （1）试求数列{an}

（1）解：由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3），
∴an=an-1+2n-1
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2=2n-1+2n-2+…+22+5=2n+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1；
（2）证明：∵bn=
2n-1an•an+1
=
12
(
12n+1
-
12n+1+1
)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=
12
[（
13
-
15
）+（
15
-
19
）+…+(
12n+1
-
12n+1+1
)]=
12
(
13
-
12n+1+1
)＜
16

（3）证明：由（2）可知Tn=
12
(
13
-
12n+1+1
)，
若Tn＞m，则得
12
(
13
-
12n+1+1
)＞m，化简得
1-6m3
＞
12n+1+1
．
∵m∈（0，
16
），∴1-6m＞0，∴2n+1＞
31-6m
-1，∴n＞log2(
31-6m
-1)-1，
当log2(
31-6m
-1)-1＜1，即0＜m＜
115
时，取n0=1即可，
当log2(
31-6m
-1)-1≥1，即
115
≤m＜
16
时，则记log2(
31-6m
-1)-1的整数部

Answer 1

a1=3，a2=5 =>S1=3, S2=8
Sn+S(n-2)=2S(n-1)+2n-1 ;(n≥3)
[Sn-S(n-1)] -[ S(n-1) -S(n-2)] =2n-1
[Sn-S(n-1)] - [S2-S1] = 5+7+...+(2n-1)
[Sn-S(n-1)] - 5 = 5+7+...+(2n-1)
Sn-S(n-1) = n^2+1
an= n^2+1

an = 3 ; n=1
= n^2+1 ; n≥2