Question

已知函数f(x)=lg(ax^2-ax+1)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围

已知函数f(x)=lg(ax^2-ax+1)
若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围

值域为R是什么意思？ 是值域能取到任何数嘛？？ 还有就是怎么解？

Answer 1

答：
f(x)=lg(ax²-ax+1)的值域为R，
说明真数ax²-ax+1包含所有的正数。
所以g(x)=ax²-ax+1的值域至少包含(0，+∞)
因此抛物线g(x)=ax²-ax+1的开口向上，a>0
其最低点不超过x轴，即抛物线g(x)与x轴有零点：
判别式=(-a)²-4a>=0
所以：a²-4a>=0
所以：a<=0或者a>=4
因为：a>0
所以：a>=4

值域R就是能取得任何实数。

追问

可是ax²-ax+1 也会和x轴有交点呀？ 有交点不就有负值了么？？

追答

有交点没有关系，交点之内的x值就不是函数f(x)的定义域了。
题目要求的是值域为实数范围R，不是要求定义域为实数范围R。

追问

那如果题目变成 定义域为R，求a的范围， 是不是就有 ax²-ax+1＞0 恒成立了呀？

追答

对的，没有错，这时候直接用判别式来处理就可以啦

Answer 2

值域为R就是值域能取到任何一个实数
∵函数f(x)的值域为R

∴ax^2-ax+1恒大于0
由f(a)=ax^2-ax+1的图像性质得：
a>0,△=a^2-4a<0
∴0<a<4

Answer 3

答案a大于等于四，分析首先a>0，根的判别式也要大于等于零，才能满足值域为R