Question

微积分证明题求大神！

Answer 1

考察函数 F(x) = f(x) - x ，
由于 f(x) 在 [0，1] 上可微，因此函数在（0，1）上可导进而连续，
所以 F(x) 在 [0，1] 上连续，
由于 F(0) = f(0) > 0 ，F(1) = f(1) - 1 < 0 ，
因此由介值定理知，至少存在一个 ξ 使 F(ξ) = 0 ，即 f(ξ) = ξ 。
下面证明惟一性。如果有 0 < x1 < x2 < 1 使 f(x1) = x1，f(x2) = x2 ，也即 F(x) = 0 有两个不同解，则由罗尔中值定理知，存在 c∈(x1，x2) 使 F '(c) = 0 ，也即 f '(c) - 1 = 0 ，
这与已知 f '(x) ≠ 1 矛盾。因此结论成立。