Question

线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵，且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵

^T转置的意思，打不出来不好意思

Answer 1

题目有问题：
对于mxn矩阵，当m>n时，R(A+B) = n，不能保证mxm矩阵满秩，楼下给出了反例。
所证明结论应为：A'A+B'B正定，以下按此证明
证明：
　 由于R(A+B) = n，可知m≥n。因此对于非零n维向量X，有：
　 　(A+B)X≠0 ==> AX+BX ≠ 0(向量)
==> AX，BX 不同时为0向量 (充分非必要条件)
　　 因此向量的数量积 (AX)'AX, (BX)'BX不同时为零
　　显然(AX)'AX为向量AX的模，(AX)'AX ≥0，同样(BX)'BX≥0
　 由以上两点可得：
　　 (AX)'AX + (BX)'BX >0
　　 ==> X'A'AX + X'B'BX >0
==> X'(A'A + B'B)X >0
　　 即：对于任意n维非零向量X，有X'(A'A + B'B)X >0, (A'A + B'B) 正定

Answer 2

反例:
m = 2, n = 1, A = B = [1, 0]^T