Question

设函数f(x)=mx^2-mx-1,(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求m的取值范围

（2）若对于属于（1，3），f（x）＜6x-m-1，恒成立，求m取值范围

Answer 1

因为f(x)<0，画图可知只需抛物线开口向下且与X轴无交点。所以m<0，m^2+4m<0.
解得又当m=0时，f(x)=-1，所以m的取值范围为-4< m < 0或m=0
因为f（x）＜6x-m-1，所以mx^2-mx-1＜6x-m-1，即m<6X/(X^2-X+1),即m<6/(X+1/X-1),只需求X+1/X的范围即可，若对于属于（1，3），其范围为（2,10/3）,代入上式求解

Answer 2

1) f(x) 为抛物线，f(x) < 0，须开口向下(m < 0)，且与x轴无交点，∆ = (-m)² -4m(-1) = m² + 4m = m(m + 4) < 0
解得
-4< m < 0

2)
H(x)=f(x) - (6x - m - 1) = mx² - mx - 1 - 6x + m + 1

= mx² -(m + 6)x + m

= m[x - (m + 6)/(2m)]² + m - (m + 6)²/(4m)
要求H(x)<0

如m>0,
∴首项≥0, 但x是一个变量，所以要求 [x - (m + 6)/(2m)]=0
m=6/(2x-1); x𝜖(1,3); x=1,m-6/5;x=3, m=6

∴m𝜖(6/5,6)
如m=0,H(x)=0, 不合
如m<0, 要求H(x)<0,m取决于x值, 不合.

Answer 3

(1) f(x) 为抛物线，要使f(x) < 0一直成立，须开口向下(m < 0)，且与x轴无交点，即∆ = (-m)² -4m(-1) = m² + 4m = m(m + 4) < 0
-4< m < 0

(2)
g(x) = f(x) - (6x - m - 1) = mx² - mx - 1 - 6x + m + 1 = mx² -(m + 6)x + m = m[x - (m + 6)/(2m)]² + m - (m + 6)²/(4m)

对称轴x = (m + 6)/m

追问

第二问不懂

追答

上面一个做法很妙，这里不再花时间。

Answer 4

(1)当m=0, f(x)=-1<0, 恒成立，符合题意
当m>0, 二次函数开口向上，不符合题意
当m<0, △<0, 符合题意
即 △=(-m)²-4m*(-1)<0
解得：-4<m<0
综上得：-4<m≤0
(2)f(x)<6x-m-1
mx^2-(m+6)x+m<0在（1,3）区间恒成立
即求mx^2-(m+6)x+m在（1.3）区间内最大值小于零即可
接下来自己做

追问

麻烦做完嘛

就这点不会

追答

g(x)=mx^2-(m+6)x+m
当m=0, 符合题意
当m>0 ,⊿≥0, g(1)<0,g(3)<0, 求出 m
当m<0,g(1)<0,g(3)<0 求出m

Answer 5

当m=0时恒成立
当m>0时不能恒成立
当m<0时△=m²+4m<0
解得
-4<m<0
∴对于一切实数x,有f(x)<0恒成立，则m的取值范围{m|-4<m≤0}

追问

第二问呢？

追答

mx²-mx-10,假设成立
当m>0时g(1)≤0,g(3)≤0
解得
0<m≤1/6
当m<0时g(1)≤0,g(3)≤0
解得
0<m≤1/6