Question

8．设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数

8．设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是
(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．
(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．

Answer 1

A选项。

根据齐次线性方程的解的性质，y1(x)≠ky2(x)时，c1y1(x)+c2y2(x)是方程的通解。

令F(x)=y2(x)／y1(x),F′(x)≠0时，上式成立。

即 y′2(x)y1(x)-y2(x)y′1(x)／[y1(x)]²≠0。

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

Answer 2

A选项
根据齐次线性方程的解的性质，y1(x)≠ky2(x)时，c1y1(x)+c2y2(x)是方程的通解。
令F(x)=y2(x)／y1(x),F′(x)≠0时，上式成立。
即 y′2(x)y1(x)-y2(x)y′1(x)／[y1(x)]²≠0
∴选A