Question

导数是什么？请举个日常实例来说明 微分与导数的关系是什么？不定积

导数是什么？请举个日常实例来说明 微分与导数的关系是什么？不定积分与定积分，他们的关联和区别是什么？

Answer 1

导数：如果是在某点处的导数的话,那导数有几何意思,那就是在该点处的切线的斜率.如果是函数和导数,就是因变量y对自变量x的变化率.结合后面的微分知识知道,导数其实是微商,即因变量的增量与自变量的增量的比值的极限,写成公式就是f'(x)=dy/dx,
微分：如果函数在某点处的增量可以表示成
△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小）
且A是一个与△x无关的常数的话,那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分,用dy表示,即dy=A△x
△y=A△x+o(△x),两边同除△x有
△y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有
lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0
f'(x)=lim△y/△x=A
所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了,
某点处的微分:dy=f'(x)△x
通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系
正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商（两个微分的商）
不定积分：求积分的过程,与求导的过程正好是逆过程,好加与减,乘与除的关系差不多.求一个函数f(x)的不定积分,就是要求出一个原函数F（x）,使得F'(x)=f(x),
而F(x)+C（C为任意常数）就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数,
不定积分其实就是这个表达式：∫f'(x)dx
定积分与不定积分的区别是,定积分有上下限,∫（a,b）f'(x)dx