Question

怎么证明√2是无理数

Answer 1

下面是毕达哥拉斯提出的证明方法：

假定√2是有理数，即√2 = p/q，在这里p和q是没有公约数的正整数（没有除1以外的其它正整数公因子），于是 p = √2q ，或p2 = 2q2因为p2是个整数的2倍，可知p2是个偶数，从而p必定是偶数。令p=2r，于是前面的等式成为4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是个偶数，从而q必定是偶数。由于p、q都是偶数，它们有一个公约数2，这与最初的假设p,q是没有公约数的正整数相矛盾。于是，由√2是有理数的假定引出了不可能的情况，因而这个假定必然是不对的。

这个证明是数学史上最早的一个技巧高超的证明，用的是反证法。相传，毕达哥拉斯对这个证明结果非常珍惜，不打算公开公布这个结果。他的一个学生为了好奇，悄悄走到老师家里偷出了文件，这个证明方法才被公开出来。从而引起了科学界的第一次数学危机。

Answer 2

假设根号2是有理数 有理数可以写成一个最简分数 及两个互质的整数相除的形式 即根号2=p/q pq互质 两边平方 2=p^2/q^2 p^2=2q^2 所以p^2是偶数 则p是偶数 令p=2m 则4m^2=2q^2 q^2=2m^2 同理可得q是偶数 这和pq互质矛盾 所以假设错误 所以根号2是无理数

Answer 3

证明根号2是无理数
如果√2是有理数,必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数,设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数,与p、q互质矛盾
∴假设不成立,√2是无理数
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Answer 4

20190821 数学04