Question

设z=z(x,y)是由x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值。

Answer 1

对x求导得

2x - 6y - 2y dz/dx - 2z dz/dx = 0
所以dz/dx = (x-3y)/(y+z)
对y求导得
-6x + 20y - 2z - 2y dz/dy - 2z dz/dy
所以dz/dy = (10y - 3x - z)/(y+z)
令
x=3y
10y-3x+z=0
得
z=y
代入原方程得
9y^2-18y^2+10y^2-2y^2-y^2+18=0
得y^2=9所以y=±3
所以极值点为(9,3,3)极值为3
(-9,-3,-3)极值为－3
至于是极大还是极小还需要讨论一下

Answer 2

(x-3y)^2-(z+y)^2+2y^2+18=0

z=[(x-3y)^2+2y^2+18]^0.5-y

x=0,y=0时，z最小值为根号18

因为(x-3y)^2+2y^2都大于等于0