Question

lim[1/(sinx)^2-(cosx)^2/x^2]

此题为什么不能直接化为 lim[1/(sinx)^2-1/x^2]啊，就算第一步不化，第二部通分后x^2-(sinx)^2(cosx)^2也能化成x^2-(sinx)^2吧。。不知对不对？化完的结果为1/3。与原答案4/3不一样。求大神指教。。

Answer 1

不能的，这样做的后果是丢失高阶无穷小，导致结果错误
通分后变成(x^2-Sin[x]^2Cos[x]^2)/x^2Sin[x]^2
分母的Sin[x]出现在乘除的位置，所以可以用x^2代替
可以写成(x^2-1/4 Sin[2x]^2)/x^4
然后应该用洛必达法则来计算，或者用Sin[x] ~ x - x^3/6来代换，如果用Sin[x]~x来代换，就会丢失高阶无穷小导致结果错误

追问

那像这样的极限什么时候可以直接代入数，比如cosx--当x趋0时，什么时候可以带1啊

追答

出现在乘除的位置，比如Cos[x](x-Sin[x])/x^3
这里的Cos[x]就可以直接用1代替