Question

已知圆C(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m-1)x+(m+1)y-7m-4=0

有结论：①直线l过定点（3，1），②不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两不同点，③直线被圆C截得的弦长最小时l的方程：y=2x-5。以上结论正确的是（ ）。
要有过程！

Answer 1

整理(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
整理后变成：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
令2x+y-7=0且x+y-4=0，解得x=3，y=1
当x=3，y=1时，无论m取什么值，左右两边都是0，都相等，所以这条直线恒过点（3，1）。
把（3，1）代入(x-1)^2+(y-2)^2，结果是5，而5<25，这表示（3，1）这个点是在圆C之内的。因此过（3，1）的任意直线都会与圆有2个交点。

半径，圆心到截弦的距离，半弦长，构成一个直角三角形。半径是一个定值，是直角三角形的斜边。要截弦最短，也就是要半截弦最短，根据勾股定理，也就是要圆心到直线的距离最长。
而这条直线是恒过（3，1）的，也就是说它绕着（3，1）来转。你想想，什么时候圆心到这条直线的距离最长？那当然是圆心和（3，1）连线的斜率与直线L垂直的时候！你画个图立马就清楚了。
圆心与（3，1）连线的斜率为-1/2
而直线的斜率斜率为-（2m+1）/（m+1）
它们要垂直，因此斜率相乘要为-1
那么（-1/2）（-2m-1）/（m+1）=-1
解得m=-3/4
此时L的方程为：2x-y-5=0

正确的结论有(1)(2)(3)