Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点

63．（甘肃省张掖市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t．
（1）求证：OQ＝QM；
（2）求线段BM的长（用含t的代数式表示）；
（3）△BMN与△MON能否相似？若能，求出此时△BMN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

1)作辅助线AX⊥x轴，∵PQ⊥x轴，且A的坐标为（2，2），则△AXO为等腰直角三角形∴∠AOB=45°，∵PQ⊥x轴，则△PQO为等腰直角三角形，∴PQ=OQ,∵四边形PQMN为正方形，有PQ=QM，∴OQ=QM.
2)∵AX,PQ,NM⊥x轴，MN=PQ∴BM:BX=MN:AX=PQ:AX=OQ:OX=t:2，又∵A的坐标为（2，2），则MX=OM-OX=2t-2，又∵BM:MX=t：2-t，∴BM=(2t-2)*t/(2-t)=2t(t-1)/(2-t).
3)由以上可以得到，OM:MN=2t：t=2，MN:BM=t:2t(t-1)/（2-t），若两三角形相似，则OM:MN=MN:BM=t*（2-t）/2t(t-1)=2，求解得t=1.2，代入直角三角形计算公式，得：S△BMN=1/2*MN*BM=t*2t(t-1)/2(2-t)=0.36

Answer 2

1)作辅助线AX⊥x轴，∵PQ⊥x轴，且A的坐标为（2，2），则△AXO为等腰直角三角形∴∠AOB=45°，∵PQ⊥x轴，则△PQO为等腰直角三角形，∴PQ=OQ,∵四边形PQMN为正方形，有PQ=QM，∴OQ=QM.
2)∵AX,PQ,NM⊥x轴，MN=PQ∴BM:BX=MN:AX=PQ:AX=OQ:OX=t:2，又∵A的坐标为（2，2），则MX=OM-OX=2t-2，又∵BM:MX=t：2-t，∴BM=(2t-2)*t/(2-t)=2t(t-1)/(2-t).
3)由以上可以得到，OM:MN=2t：t=2，MN:BM=t:2t(t-1)/（2-t），若两三角形相似，则OM:MN=MN:BM=t*（2-t）/2t(t-1)=2，求解得t=1.2，代入直角三角形计算公式，得：S△BMN=1/2*MN*BM=t*2t(t-1)/2(2-t)=0.36

PS:好久没做这类题目了，做得头晕。。。方法没问题，不知道计算有没有错误，可以顺便验证下