Question

关于圆的方程的数学问题

点P（a，b）为圆（x+1）^2+(y-1)^2=4上任一点，求a-b的最小值

提供一个思路什么的也行，求教。

Answer 1

依据题意设圆的方程是（x-a）²+y²=r²
因为圆经过点A（-1，0）
B（1，2），代入圆的方程解得
a=1，r=2
所以圆的方程是（x-1）²+y²=4
设直线l的方程是y=kx+c
因为直线过点P（0,2），所以c=2
你画一个示意图，把直线和圆都画出来，记圆心为O1，那么△MO1N中MN=2根号3，MO1=NO1=2,可以算出来MN垂直于X轴，即k=0
所以直线l的方程是y=2

Answer 2

用圆的参数方程x=-1+2cos(t), y=1+2sin(t)
因为P在圆上，存在t使得a=-1+2cos(t), b=1+2sin(t)
a-b=-2+2(cost-sint)＝-2+2sqrt(2)cos(x+pi/2). （sqrt代表根号）
这里利用到下面的技巧：

cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y). 令y=pi/2
cosx-sinx=sqrt(2)cos(x+pi/2).

所以当cos(x+pi/2)＝-1是a-b取得最小值为-2-2sqrt(2)。

Answer 3

点P（a，b）为圆（x+1）^2+(y-1)^2=4上任一点，求a-b的最小值
横坐标 和 纵坐标 尽量接近 也就是 和 y=x 尽量往右下角移动的切点
画图可以看出 圆（x+1）^2+(y-1)^2=4 的右下角 45度方向 极值点为

(根号2-1 , 1-根号2 )
最小值 a-b = 2根号2- 2

追问

a-b可以为负值吧
为什么a-b最小值一定就是横坐标 和 纵坐标 尽量接近？

追答

点P（a，b）为圆（x+1）^2+(y-1)^2=4上任一点，求a-b的最小值
横坐标 和 纵坐标 尽量接近 也就是 和 y=x 尽量往右下角移动的切点
画图可以看出 圆（x+1）^2+(y-1)^2=4 的右下角 45度方向 极值点为

(根号2-1 , 1-根号2 )
最小值 a-b = 2根号2- 2

追问

更正：应该在左上角
但是为什么45°为最值

追答

呵呵 搞错了 是 左上角的 135 度方向的点

极值点为

(-根号2-1 , 1+根号2 )
最小值 a-b = -2根号2- 2

追问

我也觉得是135°方向的点
可是有没有什么依据
老师可不会因为你觉得就算你对

追答

有依据啊。。。画图解决问题

画一条 y=x 的线 ，平移过去 找到 切点 就可以了

Answer 4

线性规划的题目，可行域是这个圆设P（x，y）的话，令z=x-y，一条直线平移和园有交点时可求其最值~

追问

尝试了这个方法
最后求得z=正负2倍根号2
但是取特殊值P（-1,3） P在圆上 但是a-b=-4啊
我不知道出了什么问题

追答

z=x-y是目标函数，要平移的是直线y=x-z，当直线在上面与圆相切时即为所求结果
x=负根二减一 y=根二加一
得结果

课本是基础，平时注重例题的揣摩~
加油，高三毕业党飘过~~~

Answer 5

令a-b=z，再利用线性规划，在直线与圆的交点上找即可。