Question

设抛物线y2等于4X的焦点为F,直线l过F且与C交于AB两点,若AF等于3BF,则l的方程为

Answer 1

答：
抛物线方程为y²=4x，焦点F（1,0），准线方程为x=-1
直线L经过焦点F，设点A为（a²，2a），点B为（b²，2b），
则：
AF=a²+1，BF=b²+1
因为：AF=3BF
所以：a²+1=3b²+3，a²=3b²+2
直线AB的斜率k=(2b-2a)/(b²-a²)=2/(a+b)=(2a-0)/(a²-1)=2a/(a²-1)
整理得：ab=-1，b=-1/a
代入a²=3b²+2得：a²=3/a²+2
整理得：(a²)²-2a²-3=0
解得：a²=3（a²=-1不符合舍去）
所以：a=√3或者a=-√3
代入k=2a/(a²-1)=a=±√3

所以：直线方程为y=±√3(x-1)

Answer 2

通法~
解：因为y^2=4x
所以F(1，0) 准线为x=-1
设A(x1,y1) B(x2,y2)
由丨AF丨=3丨BF丨及抛物线定义得 x1+1=3(x2+1) 即x1=3x2+2 ---①
设L的方程为y=k(x-1)
则y=k(x-1) ---② y^2=4x ---③
把②代入③消去y得 k^2(x-1)^2=4x
展开得 k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
由韦达定理得 x1+x2=2k^2+4/k^2 ---④ ; x1x2=1 ---⑤
把①分别代入④和⑤得 (3x2+2)x2=1 ;x2+3x2+2=2+4/k^2
解之得 (x2+1)(3x2-1)=0 ; x2=1/k^2
因为x1x2≥0
所以x2=1/3 即1/k^2=1/3
所以k=±根号3

希望有帮助吧QAQ