Question

已知数列(an)满足a1=1,a(n+1)=2an+1,用数学归纳法证明an=2的n次方-1

Answer 1

a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
a(n+1)+1/(an+1)=2
令sn=an+1 则 s1=a1+1=1+1=2
sn是以s1=1,q=2的等比数列。
sn=2^(n-1)
an+1=2^(n-1)
an=2^(n-1)-1

Answer 2

归纳证明分两步。

假设n=k时成立，
有A(k)=2^k-1
则A(K+1)=2*A(k)+1=2*(2^k-1)+1=2^(k+1)-1
即n=k+1时也成立

又A1=1=2^1-1满足

得证