Question

急急急，明天数学考试，哪位能帮我解释一下这道题

阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）直接写出S1=

（用含字母a的式子表示）．请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值．

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Answer 1

分析：（1）首先根据题意，求得S△ABC1=2S△ABC，同理求得S△A1B1C1=19S△ABC，则可求得面积S1的值；
（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积；
（3）设S△BPF=m，S△APE=n，依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出
n
m
=
2
3
，从而求解．
解答：解：（1）S1=19a；（2分）

（2）过点C作CG⊥BE于点G，
设S△BPF=x，S△APE=y，
∵S△BPC=
1
2
BP•CG=70；S△PCE=
1
2
PE•CG=35，
∴
S△BPC
S△PCE
=
1
2
BP•CG

1
2
PE•CG

=
70
35
=2．
∴
BP
EP
=2，即BP=2EP．
同理，
S△APB
S△APE
=
BP
PE
．
∴S△APB=2S△APF．
∴x+84=2y．①（3分）
∵
S△APB
S△BPD
=
AP
PD
=
x+84
40
，
S△APC
S△PCD
=
AP
PD
=
y+35
30
，
∴
x+84
40
=
y+35
30
．②
由①②，得

x=56
y=70.

∴S△ABC=315．

（3）设S△BPF=m，S△APE=n，如图所示．
依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．
∴S△PCE=m-n．
∵
S△APB
S△APE
=
S△BPC
S△PCE
=
BP
PE
，
∴
2m
n
=
m
m-n
．
∴2m（m-n）=mn，
∵m≠0，
∴2m-2n=n．
∴
n
m
=
2
3
．
∴
S△APE
S△BPF
=
2
3
．
故答案为：19a．

Answer 2

Answer 3

(2) 在△PBD、△PDC中，S△PBD/S△PDC=BD/DC=40/30
在△ABD、△ADC中，S△ABD/S△ADC=BD/DC=40/30
S△ABD=84+40+S△BPF=124+S△BPF
S△ADC=30+35+S△APE=75+S△APE
3*(124+S△BPF)=4*(75+S△APE)
S△APE=18+3S△BPF/4

在△BCE、△BAE中，S△BCE/S△BAE=CE/AE
在△PCE、△PAE中，S△PCE/S△PAE=CE/AE
S△BCE=35+30+40=105
S△BAE=84+S△APE+S△BPF=102+7S△BPF/4
则 105/(102+7S△BPF/4)=35/S△PAE
105/(102+7S△BPF/4)=35/(18+3S△BPF/4)
105(18+3S△BPF/4)=35(102+7S△BPF/4)
1890+315S△BPF/4=3570+245△BPF/4
70*S△BPF/4=1680
S△BPF=96
则 S△APE=90
S△ABC=40+30+35+90+84+96=375