Question

设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f (x)＞0} （Ⅰ）求I的长度

设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f (x)＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）； （Ⅱ）给定常数k ∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值。

Answer 1

(1) 令 f(x)=ax-（1+a²）x²= -x[(1+a²)x-a]=0,

得 x=0 或 x=a/(1+a²)
因为 a＞0，-(1+a²)＜0
所以 I={x|0＜x＜a/(1+a²)}

其长度为 a/(1+a²)
(2) 长度 a/(1+a²)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2
当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2，所以a/(1+a²)在(0,1)单调增，在(1,+∞)单调减，
而当k ∈（0，1）时，1-k＜1 而 1+k＞1，
所以a/(1+a²)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值。
又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)²]= -3k³/{[1+(1-k)²]·[1+(1+k)²]}＜0
所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)²]