Question

怎么用微积分证明球的表面积和体积公式

Answer 1

球是圆x^2+y^2=R^2绕x轴旋转得到的几何体。
在-R≤x≤R处，垂直于x轴的弦长y=√（R^2-x^2）
此处取底面半径r=y,高h=dx的微元体，

则球的体积元、表面积元分别为微元体（r=y,h=dx的圆柱体）的体积和侧面积∴
dS=2πydx, dV=πy^2dx
∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√（R^2-x^2）dx=4πR^2,
V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π（R^2-x^2）dx=4π/3*（R^3)
(定积分的具体计算比较简单，自己算算就好了）

Answer 2

引用xhyhzg的回答：
球是圆x^2+y^2=R^2绕x轴旋转得到的几何体。
在-R≤x≤R处，垂直于x轴的弦长y=√（R^2-x^2）
此处取底面半径r=y,高h=dx的微元体，

则球的体积元、表面积元分别为微元体（r=y,h=dx的圆柱体）的体积和侧面积∴
dS=2πydx, dV=πy^2dx
∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√（R^2-x^2）dx=4πR^2,
V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π（R^2-x^2）dx=4π/3*（R^3)
(定积分的具体计算比较简单，自己算算就好了）

这样算的话体积是对的，但是表面积算出来就是π²R²，明显不对