Question

已知x>1 k属于Z k<(x+xlnx)/(x-1) 求k的最大整数 答案是3

请做过这个题的人，帮我解释一下 有一步是x（1+lnx）/（x-1） 等于了x（1+x-2）/（x-1）=x 这是为什么啊？？

Answer 1

我重新叙述一下问题吧，希望没理解错。
题目要求最大的整数k，使得对于任意x>1的时候，都满足k<(x+xlnx)/(x-1)
为了找到k的最大值，必须找出不等式右边的最小值，而不等式右边的最小值在其导数为0的时候取得。
对其求导得到((1+lnx+1)*(x-1)-(x+xlnx))/(x-1)^2=(x-2-lnx)/(x-1)^2=0，即x-2=lnx。
这里无法直接求出x的解析解。但我们可以把lnx=x-2代入原来的式子得到x(1+x-2)/(x-1)，化简得到x。
即当不等式右边取到最小值的时候，不等式的右边等于x。
设f(x)=x-2-lnx，f(3)≈-0.099，f(4)≈0.614，所以f(x)=0的解在3和4之间。
所以这个时候k能取到的最大值就是3了。