Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足三点满足向量OC=1/3向量OA+2/3向量OB。

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0， π/2],f(x)=向量OA×向量OC－(2m+2/3)×向量AB的绝对值
若f（x）最小值为-3/2,求实数m的值
当m∈[0,1],x∈[0,π/2]时,存在t∈[0,1],使得t^2+t+4［1-f（x）］≤4t f（x），求m的最大值
前两小问我会做，请教第三问，麻烦详细点！！！

Answer 1

1
CA=OA-OC=OA-(OA/3+2OB/3)=(2/3)(OA-OB)
CB=OB-OC=OB-(OA/3+2OB/3)=(-1/3)(OA-OB)
故：CA=-2CB=2BC
即：CA与BC共线，故：A、B、C三点共线
2
OC=OA/3+2OB/3
故：OA·OC=OA·(OA/3+2OB/3)=|OA|^2/3+2OA·OB/3
=(1+cosx^2)/3+2(1+cosx+cosx^2)/3
=cosx^2+2cosx/3+1
AB=(cosx,0)，即：|AB|^2=cosx^2
x∈[0,π/2]，故：cosx≥0，即：|AB|=cosx
故：f(x)=cosx^2+2cosx/3+1-(2m+2/3)cosx
=cosx^2-2mcosx+1
=(cosx-m)^2+1-m^2
1) 当：m∈[0,1]时，f(x)的最小值：1-m^2
1-m^2=-3/2，m^2=5/2>1，不合题意
2) 当：m<0时，在cosx=0时，函数取得最小值：1
不合题意
3) 当：m>1时，在cosx=1时，函数取得最小值：2-2m
2-2m=-3/2，即：m=7/4
故：m=7/4
3
t^2+t+4(1-f(x))≤4tf(x)
即：4(t+1)f(x)≥t^2+t+4
t∈[0,1]，即：f(x)≥(1/4)(t^2+t+4)/(t+1)
=(1/4)((t+1)^2-(t+1)+4)/(t+1)
=(1/4)(t+1+4/(t+1)-1)
≥(1/4)(4-1)=3/4，当t=1时，等号成立
即：f(x)≥3/4成立
f(x)=(cosx-m)^2+1-m^2，在m属于[0,1]时，最小值：1-m^2
只要保证：1-m^2≥3/4即可
即：0≤m≤1/2
故m的最大值：1/2