Question

高等数学同济六版上册230页上；精推到可得---是如何推到得到的啊

求定积分的近似值之抛物线法---将曲线y=f(x)上的两个小弧段M1--Mi和Mi--Mi+1合起来，用过Mi-1,Mi,Mi+1三点的抛物线y=px2+qx+r代替，如何推到得到以此抛物线弧段为曲边，以[Xi-1,Xi+1]为6的曲边梯形的面积为 1/6(yi-1 + 4yi+ yi+1）2△x=b-a/3n(yi-1 +4yi +yi+1),其中i,i-1,i+1是角标，请问其详细推导过程

Answer 1

把y=px^2 + qx + r 看做梯形的曲边，在[xi-1 , xi+1]上积分，就是其面积：
积分结果为：p/3 ×x^3 + q/2 × x^2 + rx

代入积分区间：[xi-1 , xi+1]，得到面积的结果为：
p/3 ×（xi-1^3 - xi+1^3） + q/2 × （xi-1^2 - xi+1^2 ） + r （xi-1 - xi+1 ）

提出公分母1/6，为：
1/6[2p（xi-1^3 - xi+1^3） + 3（xi-1^2 - xi+1^2 ） + 6r（xi-1 - xi+1 ）

其中（xi-1 - xi+1）为公因式，再提出来，即2△x：
1/6[2p（xi-1 ^ 2 + xi-1xi+1 + xi+1^ 2） + 3q（xi-1 + xi+1） + 6r]×2△x

把系数2p和3q乘进去，整理得到：
1/6[2pxi-1^ 2 + 2pxi-1xi+1 + 2pxi+1^ 2 + 3qxi-1 + 3qxi+1 + 6r]×2△x

其中：

pxi-1^ 2 + qxi-1 + r = yi-1

pxi+1^ 2 + qxi+1 + r = yi+1

得到：1/6[ yi-1 + yi+1 + p（xi-1 + xi+1）^ 2 + 2q（xi-1 + xi+1） + 4r]×2△x
注意到：（xi-1 + xi+1）/2正好是xi，
而pxi^ 2 + qxi + r = yi
所以
p（xi-1 + xi+1）^ 2 + 2q（xi-1 + xi+1） + 4r = 4yi
于是面积是：

1/6[ yi-1 + yi+1 + 4yi]×2△x